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一.向量

1.概念

向量，指具有大小和方向的量，可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指代表向量的方向；线段长度代表向量的大小。

2.向量的运算

1.加法

三角形法则：将两个向量首尾相接，连接第一条向量的起点和第二条向量的终点，即为两向量的和。

平行四边形法则：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，平行四边形的对角线即为两向量的和。

向量加法满足交换律，结合律。

2.减法

三角形法则：将两个向量平移至公共起点，以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量即为两向量的差。

3.数乘

$\lambda$ 个相等的非零向量 $a$ 相加所得的和向量，叫作 $\lambda$ 与向量$a$的积，记为$\lambda a$。

当 $\lambda > 0$时，$\lambda a$ 与 $a$ 同向，当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda a$ 与 $a$ 反向，当 $\lambda=0$ 时，$\lambda a = 0$。

向量数乘满足交换律，结合律，分配律。

4.数量积（点积，内积）

$a \cdot b=|a| \times |b| \times \cos \theta$

$|a|\cos \theta$ 叫做 $a$ 在 $b$ 方向上的投影，
$|b|\cos \theta$ 叫做 $b$ 在 $a$ 方向上的投影。

1. $a \cdot b=b \cdot a$

2. $(\lambda a ) \cdot b = a \cdot (\lambda b)=\lambda(a \cdot b)$

3. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

5.向量积（叉积，外积）

$a \land b=|a| \times |b| \times \sin \theta$

结果是一个垂直于 $a$ 和 $b$ 的向量，在平面中可以认为是一个数量。

几何意义是两个向量所构成的平行四边形的有向面积。

1. $a \land b=-(b \land a)$

2. $(\lambda a ) \land b = a \land (\lambda b)=\lambda(a \land b)$

3. $a \land (b+c)=a \land b+a \land c$

需要注意的是，数量积和向量积都不满足结合律。

3.向量的坐标运算

1.平面向量基本定理

在同一平面内，如果两个向量 $e_1$ , $e_2$ 不共线，那么对于在同一平面的向量 $p$ , 存在唯一实数对$(\lambda_1,\lambda_2)$ , 使得 $p= \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$。

在平面上，如果取一对相互垂直的向量作为基底，就可以构建一个平面直角坐标系。记 $x$ 轴 和 $y$ 轴的单位向量分别为 $i$ , $j$。

对于平面上的任意向量，有 $p=ai+bj$ , 可以由实数对 $(a,b)$ 唯一确定。

2.向量的坐标运算

记两个向量为 $a=(x_1,y_1)$ , $b=(x_2,y_2)$。

1.加法：$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

2.减法：$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

3.数乘：$\lambda a=(\lambda x1,\lambda y_1)$

4.数量积：$a \cdot b=x_1y_1+x_2y_2$

5.向量积：$a \land b=x_1y_2-x_2y_1$

4.应用

1.判断两向量的位置关系

1.平行：$a \land b=0$

2.垂直：$a \cdot b=0$

2.逆时针旋转

记 $\theta$ 为向量与 $x$ 轴的夹角，$\alpha$ 为旋转的角度，$d$ 为向量模长。

首先有：

$\sin \theta=\frac{y_1}{d}~,~\cos \theta=\frac{x_1}{d}$

$\sin (\theta+\alpha)=\frac{y_2}{d}~,~\cos (\theta+\alpha)=\frac{x_2}{d}$

用和角公式展开：

$\sin (\theta+\alpha)=\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha=\frac{y_1}{d}\cos \alpha +\frac{x_1}{d}\sin \alpha$

$\Rightarrow \frac{y_2}{d}=\frac{y_1}{d}\cos \alpha + \frac{x_1}{d}\sin \alpha$

$\Rightarrow y_2=y_1\cos \alpha + x_1\sin \alpha$

$\cos (\theta+\alpha)=\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha=\frac{x_1}{d}\cos \alpha -\frac{y_1}{d}\sin \alpha$

$\Rightarrow \frac{x_2}{d}=\frac{x_1}{d}\cos \alpha - \frac{y_1}{d}\sin \alpha$

$\Rightarrow x_2=x_1\cos \alpha - y_1\sin \alpha$

所以旋转后的向量为 $(x_1\cos \alpha - y_1\sin \alpha,y_1\cos \alpha + x_1\sin \alpha)$

3.求直线交点

4.判断点是否在线段上

首先 ， $\overrightarrow{xp}=p-x ,\overrightarrow{xq}=q-x$

如果 $\overrightarrow{xp}$ 和 $\overrightarrow{xq}$ 的叉积不为 0 （图一） 说明 $\overrightarrow{xp}$ 和 $\overrightarrow{xq}$ 不共线，$x$ 一定不在线段上。

不然则计算它们的点积，如果 $\overrightarrow{xp}$ 与 $\overrightarrow{xq}$ 的点积为正数，说明 $\overrightarrow{xp}$ 和 $\overrightarrow{xq}$ 同向（如图三）。

所以点向线段端点的两向量的叉积为0，点积为负数，那么点在线段上。

5.模板

struct Vector {
    double x , y;

    Vector operator + ( const Vector &o ) const { //加法
        return { x + o.x , y + o.y }; 
    }
    Vector operator - ( const Vector &o ) const { //减法
        return { x - o.x , y - o.y };
    }
    Vector operator * ( const double &o ) const { //数乘
        return { x * o , y * o };
    }
	double operator * ( const Vector &a ) const { //内积
        return x * a.x + y * a.y;
    }
    double operator ^ ( const Vector &a ) const { //叉积
        return x * a.y - y * a.x;
    }
	
    double len( const Vector &a ) const { //模长
        return sqrt( a.x * a.x + a.y * a.y );
    }
    double theta( const Vector &a ) const { //极角
        return atan( a.y / a.x );
    }
    double Rad( const Vector &a , const Vector &b ) const { //夹角
        return acos( a * b / ( len( a ) * len( b ) ) );
    }

    Vector Rotate( const Vector &a , double rad ) const { //逆时针旋转
        return { a.x * cos( rad ) - a.y * sin( rad ) , a.x * sin( rad ) + a.y * cos( rad ) }; 
    }
    Vector Intersection( const Vector &a , const Vector &b , const Vector &c , const Vector &d ) const { //直线a,c交点(b,d)为斜率
        Vector u = a - c;
        double t = ( d ^ u ) / ( b ^ d );
        return a + b * t;
    }
    bool Online( const Vector &p , const Vector &q ) const { //求点是否在线段上
        return equal( ( p - Point{ x , y } ) ^ ( q - Vector{ x , y } ) , 0 ) && ( ( p - Vector{ x , y } ) * ( q - Vector{ x , y } ) ) < eps;
    }
}dex , alpha;

6.例题

1.[SHOI2015]激光发生器